기말고사가 다가오고 있다. 에듀캣은 효과적인 내신 쌓기에 도움을 주고자 3주에 걸쳐 실력 있는 과목별 전문강사의 도움을 받아 중학생을 위한 관심 과목별 기말고사 대비 가이드를 싣는다. 수학·국어·과학 과목 순으로 연재하며 구체적이고 실질적인 접근이 이뤄지도록 했다.<편집자 註>

◇수학

용어 정의와 기본 개념에 충실한다. 실생활에서 겪게 되는 일을 방정식 등을 이용해 표현할 수 있는가를 묻는 문제가 많이 나오니 대비한다. 문제집을 풀 때는 틀린 문제마다 꼭 표기해서 반복해 풀어보는 것이 효과적이다. 오답노트를 만들어 활용하면 더 효과적이다. 시간이 부족하다면 시험 전날이나 당일 아침 틀렸던 문제만 여러 번 풀어보고 시험에 임하는 게 좋다.

▲1학년

♧문자와 식

-실생활에서 일어나는 일을 식으로 표현할 수 있는 능력을 기르자. 꼭 출제된다.

(예제 1)다음을 읽고 ‘하나’가 받아야 할 거스름돈을 식으로 나타내어라.

「하나는 세일을 하는 서점에 가서 정가가 a원인 소설책 2권과 수필집 3권을 샀다. 소설책은 20% 할인된 값, 수필집은 25% 할인된 값에 사고 3만원을 냈다.」

-소금물 농도문제를 풀 때는 순수 소금량 증감에 초점을 맞춰 문제를 풀면 수월하다.

(예제 2)A컵에는 6%의 소금물이 300g, B컵에는 9%의 소금물이 600g 들어 있다. 두 컵에서 동시에 [수식1](g)의 소금물을 덜어내어 서로 바꾸어 넣었더니 두 컵 안의 소금물의 농도가 같아졌다. 이때, [수식1]의 값은?

♧함수

-변하는 두 양 [수식1], [수식4]에서 한쪽의 양 [수식1]가 2배, 3배, 4배, …로 변함에 따라 [수식4]가 [수식13]배가 되는 관계가 있을 때, [수식4]는 [수식1]에 반비례한다고 하며, 식으로는 [수식14]로 표현된다.

-반비례그래프에서 한 점을 주고 면적을 구하는 문제가 단골 출제된다.

(예제 3)함수 [수식2]의 그래프가 점 (-1, 6)을 지날 때, 함수 [수식3]의 그래프는 그림과 같다. 직사각형 ABCD의 넓이를 구하여라.(단, 직사각형의 네 변은 [수식1]축 또는 [수식4]축과 평행하다.)[그래프1]

▲2학년

♧연립방정식

-실생활에서 발생하는 여러 상황을 연립방정식을 이용해 해결하는 문제가 출제된다. 답을 암기할 정도로 반복하여 풀어본다. 특히 속도와 관련한 문제에 주의하자. 다음 예제는 기차의 길이를 고려해야 하는데 이를 생각지 못하고 식을 세우는 함정에 빠질 수 있다.

(예제 4)일정한 속력으로 달리는 기차가 있다. 이 기차는 길이가 800m인 다리를 지나는 데 23초가 걸리고, 길이가 400m인 터널을 지나는 데 13초가 걸린다. 이 기차의 속력은?

♧부등식

-연립부등식의 활용 문제 풀이방법은 ①문제의 뜻을 파악해 무엇을 미지수 [수식1]로 나타낼 것인지 정한다 ②[수식1]를 이용해 문제의 뜻에 맞는 연립부등식을 세운다 ③연립 부등식을 풀어 해를 구한다 ④구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

-부등식에서 대표적인 활용문제는 다음 예제와 같은 할당문제이다. 교재별로 풀이법이 다양하므로 자기에게 맞는 풀이과정을 선택해 확실하게 익혀둔다.

(예제 5)학생들에게 볼펜을 4자루씩 나누어 주면 10자루가 남고, 6자루씩 나누어 주면 2자루 이상 4자루 미만이 남는다고 한다. 학생 수와 볼펜의 수를 구하여라.

♧일차함수

-고등학교에 진급해서 가장 많이 쓰이는 개념 중 하나가 직선의 기울기이다. 수능에도 빈번하게 출제되므로 직선의 기울기에 대한 개념을 확실히 익혀두자.

-서로 다른 두 점 [수식5]를 지나는 직선의 기울기 a는 [수식6] 또는 [수식7] 이다.

(예제 6)오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(1, 5), B(2, 2)가 있다. 일차함수 [수식8]의 그래프가 선분 AB와 만나도록 하는 상수 a의 값의 범위는?[그래프2]

▲3학년

♧이차방정식

-방정식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항해 정리한 식이 ‘([수식1]에 관한 이차식)=0’의 꼴로 변형되는 방정식을 [수식1]에 관한 이차방정식이라고 한다.

-이차방정식을 이용해 실생활 문제를 해결하는 문제가 다수 출제되므로 다양한 유형을 풀면서 정리해둔다.

(예제 7)오른쪽 그림과 같이 세 개의 반원으로 이루어진 도형이 있다. 가장 큰 반원의 지름의 길이가 20㎝이고, 색칠한 부분의 넓이가 [수식9]일 때, 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 구하여라.[그림1]

♧이차함수

-정의역이 주어질 때 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 출제되는데 학생들이 제일 틀리기 쉽다. [수식15]로 변형한 다음, 축이 변역사이에 있는지 아니면 밖에 있는지 확인하고, 그래프를 그린 다음 최대, 최솟값을 구한다.

(예제 8)정의역이 [수식10]인 이차함수 [수식11]의 치역을 구하여라.

-이차방정식부터 이차함수까지 두루 걸쳐 판별식을 이용하는 문제가 자주 출제된다. 중근에 관련된 문제이거나 축에 접한다는 지문이 문제에 들어 있으면 완전제곱꼴을 이용하려 하지 말고 “판별식이 0이다”를 이용하여 문제를 풀면 시간을 상당히 절약할 수 있다.

-[수식16]에서 [수식17]를 판별식이라 하고 다음과 같은 성질이 있다.

①[수식17] ＞ 0 ⇔ 서로 다른 두 근

②[수식17] ＝ 0 ⇔ 중근

③[수식17] ＜ 0 ⇔ 근이 없다

(예제 9)이차함수 [수식12]의 꼭짓점이 [수식1]축 위에 있을 때, k값을 구하여라.

☞풀이과정

(예제 1)

(소설책 2권의 값)= [이미지 스캔]…(1)

(수필집 2권의 값)= [이미지 스캔]…(2)

(1)과 (2)를 합하면 [이미지 스캔] 원이 정답.

(예제 2)

먼저 순수 소금의 양을 구한다.

[이미지 스캔]의 소금물을 덜어내어 서로 바꾸어 넣은 후

A컵에 들어 있는 순수 소금량은 [이미지 스캔]

B컵에 들어 있는 순수 소금량은 [이미지 스캔]이 된다.

이제 농도를 계산한다.

A컵의 농도는 [이미지 스캔]

B컵의 농도는 [이미지 스캔]가 된다. 이제 두 컵의 농도가 같다고 놓고 [수식1]를 구하면 정답은 200g.

(예제 3)

그래프가 점(-1, 6)을 지나므로 에 [이미지 스캔]에 대입하면 [이미지 스캔], [이미지 스캔], [이미지 스캔]이 된다.

A의 [이미지 스캔]좌표는 [이미지 스캔]이므로 □ABCD의 가로 길이는 6, 세로 길이는 4가 된다. 따라서 구하는 면적은 [이미지 스캔]이다.

(예제 4)

기차의 길이를 [이미지 스캔], 기차의 속력을 [이미지 스캔]라 하자. 기차가 터널과 다리를 완전히 빠져나가려면 기차의 길이만큼 더 달려야 한다. 따라서 [이미지 스캔], [이미지 스캔]

[이미지 스캔], [이미지 스캔]을 연립하여 풀면 [이미지 스캔].

(예제 5)

학생 수를 [이미지 스캔]명이라고 하면 볼펜의 수는 [이미지 스캔]자루이다. 그런데 볼펜을 6자루씩 나누어 주면 2자루 이상 4자루 미만이 남으므로 [이미지 스캔]

[이미지 스캔] …(1)

[이미지 스캔] …(2)

(1)에서 [이미지 스캔]

(2)에서 [이미지 스캔]

(1), (2)에서 [이미지 스캔]

그런데 [이미지 스캔]는 자연수이므로 [이미지 스캔]

볼펜의 수는 [이미지 스캔]

따라서 학생 수는 4명, 볼펜의 수는 26자루이다.

(예제 6)

일차함수 [이미지 스캔]는 절편이 1이므로 항상 (0, 1)을 지난다.

(0, 1)과 A(1, 5)를 지나는 직선의 기울기는 [이미지 스캔]

(0, 1)과 B(2, 2)를 지나는 직선의 기울기는 [이미지 스캔]

따라서 정답은 [이미지 스캔]

(예제 7)

작은 반원의 반지름을 [이미지 스캔]라 하면, 두 번째 반원의 반지름은 [이미지 스캔] 이다. 제일 큰 반원의 면적에서 작은 두 반원의 면적을 빼면 [이미지 스캔]가 되어야 하므로

[이미지 스캔]

(예제 8)

[이미지 스캔]를 [이미지 스캔]로 변형하면, [이미지 스캔]이 되므로 [이미지 스캔]를 축으로 하고 점(1, 3)을 꼭짓점으로 하는 그래프이다. [그래프3] [이미지 스캔]일 때, [이미지 스캔]가 된다. 정답은 [이미지 스캔]

(예제 9)

[이미지 스캔]이므로 [이미지 스캔], [이미지 스캔]

▲강명석 둔산파스칼학원장

<임정환 기자><도움말=강명석 둔산파스칼학원장>

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